stephani puspita: TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, ALJABAR LOGIKA DAN NEGASI

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, ALJABAR LOGIKA DAN NEGASI

A. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A Tono pergi kuliah

B Tini pergi kuliah

C Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1) A → B (Premis)

(2) C → B (premis)

(3) (A V C) → B (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi).

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1. (p ʌ ~q) p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q) p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.

B. KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1. (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2. P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

C. ALJABAR LOGIKA

Pernyataan / Proposisi

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1 :

p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true)

q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false)

Contoh 2 :

Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a. 1 + 2 = 3

b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c. 6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

Contoh 3 :

Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan merupakan proposisi :

a. Di manakah letak pulau seribu?

b. Ersa lebih tua dari Arsi

c. x + y = 5

d. 2 mencintai 3

Kalimat (a) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat (b) juga bukan proposisi karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi. Kalimat tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak diketahui kebenaran bahwa Ersa lebih tua dari Arsi. Dalam kalimat (c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1 dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah. Kalimat (d), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak ditentukan benar atau salahnya.

Suatu pernyataan yang selalu benar dalam semua keadaan dinamakan tautologi , sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam semua keadaan dinamakan kontradiksi.

D. NEGASI/INGKARAN

Negasi/ingkaran merupakan operasi logika yang dilambangkan dengan tanda (~). Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca “tidak benar bahwa p” atau “non p” atau “negasi dari p”.

Contoh 1:

p : kucing makan ikan

~p :kucing tidak makan ikan

~p : tidak benar bahwa kucing makan ikan

Contoh 2:

P : kemarin tidak ada kecelakaan mobil

~p : kemarin ada kecelakaan mobil

Contoh (3):

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

Tabel nilai kebenaran negasi: